设由行列式表示的函数 ， 其中，aij（t)（i,j=1,2,…,n)的导数都存在，证明 .

设方程组系数行列式|A|=0，而A中某元素a_n代数余子式A_ij≠0，试证是该方程组的一个基础解系。

计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)： (1)Dn=

其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；

(4)D2n=

，其中未写出的元素都是0； (5)Dn=det(aij)，其中a0=|i-j|； (6)Dn=

，其中a1a2…an≠0．

如果n阶行列式D_n=|a_ij|满足a_ji=-a_ij(i，j=1，2，…，n)，则称D_n为反对称行列式.证明：奇数阶反对称行列式为零.

设A=(a_ij)_n是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A=(a_ij)_n,，其中A₂=(a_ij⁽²⁾)_n-1．证明：

(1)A的对角元素a_ii＞0(i=1，2，…，n)；

(2)A₂是对称正定矩阵

证明：线性方程组

对任何b₁，b₂，...，b_n都有解的充分必要条件是系数行列式|a_ij|≠0。

设

计算:(1)其中A_ij是元素a_aj(j=1,2,3,4)的代数余子式;

(2)其中M_ij是元素a_aj(j=1,2,3,4)的余子式。

设A={1，2}，V=，其中°表示函数的合成。试给出V的运算表，并求出V的幺元和所有可逆元素的逆元。

令σ是一个n次置换。

设A=(a_ij)是数域F上一个nxn矩阵，定义

就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑_n={σ(I)|σ∈S_n}，其中I是nxn单位矩阵。证明∑_n作成GL(n，F)的一个与S_n同构的子群。