设V是复线性空间,而线性变换T在基底ε1,ε2,…,εn下的矩阵是一Jordan块,证明: (1)V中包含εn的
设V是复线性空间,而线性变换T在基底ε1,ε2,…,εn下的矩阵是一Jordan块,证明: (1)V中包含εn的不变子空间只有V本身; (2)V中任一不变子空间都包含ε1; (3)V不能分解成两个非平凡的不变子空间的直和.
(1)设丁在基ε1ε2…εn下的矩阵为
亦即有Tε1=λε1+ε2 Tε2=λε2+ε3…Tεn-1=λεn-1+εnTεn=λεn.设W是V的任意一个包含ε1的不变子空间则λε1Teε1∈W从而由(**)式中第一式知ε2=Tε1-λε1∈W.再由第二式得ε3=Tε2-λε2∈W.如此继续下去可推得ε1ε2…εn都属于W从而W=V.
(2)设W是任意一个非零不变子空间故有α∈W且以≠0.设α=k1ε1+k2ε2+…+knεn且ki为第一个不等于零的系数即α=kiεi+…+knεn∈W.由于W是对T不变的子空间故Tα∈W于是 (T-λI)α=Tα一2α∈W.其中I表示恒等变换.但由(**)式得 (T-λI)εi=εi+1(T-λI)εN=0故有(T-λI)α=ki(T-λI)εi+1+ki+1(T-λI)εi+1+…+kn(T-λI)εn=kiεi+ki+1εi+1+…+knεn=α1∈W.同样由α1∈W有 (T-λI)α1=Tα1-λα1∈W即(T—λI)2α=(T—λI)α1=kiεi+2+kiεi+3+…+kn-22εn =α2∈W.继续这个过程一般地有(T-λI)lα=kiεi+l+ki+1εi+l+1+…+kn-1εn∈Wl=12…n-i.特别当l=n-i时有(T-λI)lα-kiεn∈W.但i≠0所以εn∈W即W包含εn.
(3)若不然设V=V1⊕V2其中V1V2是V的两个非平凡不变子空间则由(2)知εn∈V1εn∈V2这与V1∩V2={0}矛盾.
(1)设丁在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为亦即有Tε1=λε1+ε2,Tε2=λε2+ε3,…Tεn-1=λεn-1+εn,Tεn=λεn.设W是V的任意一个包含ε1的不变子空间,则λε1,Teε1∈W,从而由(**)式中第一式知ε2=Tε1-λε1∈W.再由第二式得ε3=Tε2-λε2∈W.如此继续下去,可推得ε1,ε2…,εn都属于W,从而W=V.(2)设W是任意一个非零不变子空间,故有α∈W,且以≠0.设α=k1ε1+k2ε2+…+knεn,且ki为第一个不等于零的系数,即α=kiεi+…+knεn∈W.由于W是对T不变的子空间,故Tα∈W,于是(T-λI)α=Tα一2α∈W.其中I表示恒等变换.但由(**)式得(T-λI)εi=εi+1,(T-λI)εN=0,故有(T-λI)α=ki(T-λI)εi+1+ki+1(T-λI)εi+1+…+kn(T-λI)εn=kiεi+ki+1εi+1+…+knεn=α1∈W.同样由α1∈W,有(T-λI)α1=Tα1-λα1∈W,即(T—λI)2α=(T—λI)α1=kiεi+2+kiεi+3+…+kn-22εn=α2∈W.继续这个过程,一般地有(T-λI)lα=kiεi+l+ki+1εi+l+1+…+kn-1εn∈W,l=1,2,…,n-i.特别当l=n-i时,有(T-λI)lα-kiεn∈W.但i≠0,所以εn∈W,即W包含εn.(3)若不然,设V=V1⊕V2,其中V1,V2是V的两个非平凡不变子空间,则由(2)知εn∈V1,εn∈V2,这与V1∩V2={0}矛盾.