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（请给出正确答案）
设σ为n维线性空间V的线性变换，下面三个条件等价：
(1)σ是单射；(2)σ是满射；(3)σ是双射.
若σ是无限维线性空间V的线性变换，则σ是单射与σ是满射等价？
答案
[例] 设P为任一数域，作多项式环P[x]．令σ：f(x)→σ(f(x))=xf(x)，则σ是P[x]的线性变换，且是单射，但σ不是满射，事实上，对任意f(x)∈P[x]，σ(f(x))=xf(x)≠1，即1没有原像．
又令τ：f(x)→τ(f(x))=f'(x)，则τ为P[x]的线性变换，τ是满射．因为对任意f(x)=anxn+…+a1x+a0∈P[x]，有
事实上，任一零次多项式的像都是零．
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第3题
设V是复数域上的n维线性空间，
是V的线性变换，且
证明：
1)如果λ0是
的一特征值，那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
第4题
第5题
V是n维复线性空间，
是V上线性变换，
证明：
1)
不变
的每一个根子空间;
2)若只有一个非常数不变因子，则是的多项式;
3)若与可交换的线性变换仅有的多项式，则只有一个非常数不变因子。
第6题
设3维线性空间V3的线性变换T在基
下的矩阵为
(1)求T在基
下的矩阵;
(2)求T的像空间及维数;
(3)求T的核及维数。
第8题
设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但
证明:
线性无关(k＞1)
第10题
设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令
是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：
这里Wi=W∩V，i=1，2，...，k。
第11题
设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令
∈F是σ的两两不同的本征值，Vλ是属于本征值
的本征子空间。证明，子空间的和
是直和，并在σ之下不变。
是n维线性空间V的两个线性变换，证明：
是线性空间V上的线性变换，如果
，但
，求证
线性无关。
