设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但 证明: 线性无关(k＞1)

设V是复数域上的n维线性空间，是V的线性变换，且证明：

1)如果λ₀是的一特征值，那么的不变子空间;

2)至少有一个公共的特征向量。

设是n维线性空间V的两个线性变换，证明：

V是n维复线性空间，是V上线性变换，证明：

1)不变的每一个根子空间;

2)若只有一个非常数不变因子，则是的多项式;

3)若与可交换的线性变换仅有的多项式，则只有一个非常数不变因子。

设ε₁，ε₂，ε₃，ε₄四维线性空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为

1)求在基下的矩阵;

2)求的核与值域;

3)在的核中选一组基，把它扩充成V的一组基，并求在这组基下的矩阵;

4)在的值域中选一组基，把它扩充成V的一组基，并求在这组基下的矩阵。

设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值，V_λ是属于本征值的本征子空间。证明，子空间的和是直和，并在σ之下不变。