证明：在一个向量组{α₁，α₂，...，α_r}里，如果有两个向量α_i与α_j成比例，即α_i=kα_j，k∈F，那么{α₁，α₂，...，α_r}线性相关。

设向量组线性无关,如在向量组的前面加入一个向量β, 证明:在向量组中至多有一个向量a_i(1≤i≤r)可由其前面的i个向量线性表示.并在R³中做几何解释.

证明：(替换定理)设向量组α₁，α₂，···，α_r线性无关，可经向量组β₁，β₂，···，β_s线性表出，则r≤s。且在β₁，β₂，···，β_s中存在r个向量，不妨设就是β₁，β₂，···，β_r，在用α₁，α₂，···，α_r替代它们后所得向量组等价。

，β₂，…，β_t)=r(α₁，α₂，…，α_s)当且仅当这两个向量组等价。