试证明n=216的格＜ S_n,D＞同构于n=8和n=27的两个格的积代数。

令σ是一个n次置换。

设A=(a_ij)是数域F上一个nxn矩阵，定义

就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑_n={σ(I)|σ∈S_n}，其中I是nxn单位矩阵。证明∑_n作成GL(n，F)的一个与S_n同构的子群。

证明下列关系：

(1)设T是具有n个内结点的扩充二叉树，I是它的内路径长度，E是它的外路径长度。试利用归纳法证明E=1+2n，n≥1.

(2)利用(1)的结果，试说明：成功搜索的平均搜索长度Sn与不成功搜索的平均搜索长度U.之间的关系可用公式Sn=(1+1/n)Un-1，n≥1表示。

设和+,表示模j加法。

(a)证明A₂×A₂同构于A₁。

(b)描述A₂×A₃上同余关系的集合。

(c)描述A_m上同余关系集合，这里m∈I₊.

设h是从A=＜ S,*,△,k＞(到A'=＜ S',*',△,k’＞的一个满同态，~是由h诱导的S上的等价关系证明A/~同构于A'。

设S₀(x)在区间[0,a]上连续，令

证明：{S_n(x)}在[0,a]上一致收敛于0。

设S'(x)在区间(a,b)上连续，

证明： 在{S_n(x)}上内闭一致收敛于S'(x)。

设A和A'是具有非空载体的代数，定义积代数AXA'上的关系如下：

(a)确定何时~是A×A'上的同余关系。

(b)证明如果上述关系~是一同余关系，那么(A×A')/~同构于A.

试证明图7.7(a)和(b)两个格的积代数是一个格,试画出此格的图.