判定全体正实数R＋，对下列指定的运算是否构成R上的线性空间．加法和数量乘法定义为 其中a,b∈R＋，k∈R．

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

求下列线性空间的维数与一组基：

1)数域P上的空间P^nxn;

2)P^nxn中全体对称(反称，上三角形)矩阵作成的数域P上的空间;

3)全体正实数R⁺，加法与数量乘法定义为

的空间;

4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。

(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。

对以下代数结构分别给出一个非平凡的子代数.

(1)以自然数集N为载体,数加运算”+”为三元运算组成一个代数结构,记为＜N,+＞.

(2)以全体2x2实数矩阵组成的集合M为载体,矩阵乘“。”为二元运算,组成一代数结构,记为＜M,＞。＞.

(3)以集合A的幂集p(A)为载体,以集合并、交、补为其二元运算和一元运算组成一代数结构,记为

R为实数集，定义以下六个函数有

(1)指出哪些函数是R上的二元运算.

(2)对所有R上的二元运算说明是否为可交换。可结合，幂等的.

(3)求所有R上二元运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元.

指出下列函数中哪些是双射的？其中，R是实数集，N为自然数集．

(1)f：R→R，f(x)=x²-x．

(2)f：R→R，f(x)=x³．

(3)f：N→N，f(x)=x+5．

(4)f：R→R⁺，f(x)=2^x，R⁺={x|x∈R∧x＞0}．

(5)f：N→N，f(x)=2x．

(6)f：N→N，f(x)=|x|．

对下列集合给出归纳定义：

(a)十进制无符号整数集合，定义的集合将包含6,235,0045等等。

(b)十进制的以小数部分为结束的实数集合，定义的集合将包含5.3,453,01.2700,0.480等等。

(c)二进制形式的不以0开头的正偶数和0所组成的集合，定义的集合包含0,110,1010等等。

(d)把算术表达式中的运算符和运算对象全册去，所得的括号叫成形括号串。例如[],[[]],[][],[[[]][]]等都是成形括号串(例中用[]代()是为了明晰)，试定义成形括号串集合。

R为实数集合,S=RxR,*为S上的运算,定义为对任意求*的幺元,当x≠0时,求的逆元.

A.2

B.-2

C.0

D.±1