设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,试证明:向量组β,β
设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,试证明:向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.
证 设有一组数k0,k1,…,kt,使得
k0β+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0
即 (k0+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0 (3-45)
两端左乘矩阵A,并利用Aαj=0(j=1,2,…,t),得
(k0+k1+…+kt)Aβ=0
因为Aβ≠0,所以有k0+k1+…+kt=0,代入(3-45)式,得
k1α1+…+ktαt=0
因为α1,…,αt线性无关,得k1=…=kt=0,代入k0+k1+…+kt=0,得k0=0.所以,向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关。在本题的条件下,如果再设β为非齐次线性方程组Ax=b的一个解,试证方程组Ax=b有t+1个线性无关的解.