论述域是I，确定下列哪些集合是相等的：

如果论述域是整数I，确定下列命题哪些是真。题中表示“存在唯一的x使P(x)是真”，是常用的第三个量词，但它可用已有的两个量词表达出来。

设论述域是具有如下定义的谓词的数学断言的集合：

P(x)表示“x是可证明的”;

T(x)表示“x是真的”;

S(r)表示“x是可满足的”;

D(x, y, z)表示“z是析取式xVy”,

翻译下列断言为中文，使我们翻译尽可能自然。例如译成“如果y是断言wVx,z是断言:xVw,并且y是可证明的，那么z是可证明的”.

设论述域是整数I，按照列于下面的集合在列于顶行的运算下是否封闭，在相应处填上是(Y)或非(N)。

给定个体域D和D上的解释I,称D上n元有序组集合D}为可定义的,如果存在含n个自由变元的谓词公式a(x₁,x₂,...,x_n),a(x₁,x₂,...,x_n)在域D和解释I下为真当且仅当对x₁,x₂,...,x_n的賦值d₁,d₂,...,d_n满足.已知n元有序组集合A,B都是可定义的,请证明:

(1)AUB是可定义的.

(2)A-B是可定义的.

(3)n-1元有序组集合存在某个d使得是可定义的.