设函数ω=f（z)在Imz≥0上单叶解析,并且把Imz＞0保形映照成|ω|＜1;把Imz=0映照成|ω|=1.证明f（z)一定是分式线性函数。

设函数f(z)在区域r₀＜|z|＜∞内解析，C表示圆|z|=r(0＜r₀＜r).我们把积分

定义作为函数f(z)在无穷远点的留数，记作Res(f,∞),在这里积分中的C^-表示积分是沿着C按顺时针方向取的。试证明:如果a_-1表示f(z)在r₀＜|z|＜+∞的罗朗展式中1/z的系数，那末Res(f,∞)=-a_-1

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

如果单叶解析函数ω=f(z)把z平面上可求而积的区域D映照成ω平面上的区域D*，证明D*的面积是

让函数f(z)在单连通区域G内解析,且在G内的用闭曲线C上满足|f(z)-1|＜1,证明:.

设f(z)是单连通区域D内除z₀以外解析的函数且，则对于任一属于D而不通过z₀的简单光滑闭曲线C，恒有

设f(z)在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数。

1)试用柯西积分公式证明

C的最短距离，试用积分估值公式与1)中的等式，证明不等式

3)令n→+∞，对2)中的不等式取极限,证明： |f(z)|≤M。这个结果表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)。

设解析函数f(z)在|z|＜R内的泰勒展开式为，