设Z为整数集合,在Z上定义二元运算o如下:问Z关于o运算能否构成群？为什么？

设A={xlx∈R∧x=0,1}.在A上定义六个函数如下:

令F为这6个函数构成的集合,o运算为函数的复合运算.

(1)给出o运算的运算表.

(2)验证(F,o)是一个群.

设A={a}ⁿ={aⁿ|n≥0}，B是单元素集合B=(z)，这里z是a的无限串即B={aaa···}，设R是AUB上的关系，定义如下：

证明或否定＜ A,z＞∈R⁺。

设代数A=＜ I,*＞,其中Ⅰ是整数集合,*是如下定义的一元运算：

~是中的同余关系吗？

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法;

2)设A是一个nxn实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法;

3)全体n级实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法;

5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

7)集合与加法同6)，数量乘法定义为

8)全体正实数R⁺，加法与数量乘法定义为

设有集合A与二元运算“*”，试证明下列4个中哪些为代数系统。

(1)A=R，a*b=ab：

(2)A={1，2，…，8)，a*b=lcm(a，b)；

(3)A={1，-1，2，3，-3，4，5)，a*b=|b|；

(4)A=Z，a*b=|a-b|．

设论述域是具有如下定义的谓词的数学断言的集合：

P(x)表示“x是可证明的”;

T(x)表示“x是真的”;

S(r)表示“x是可满足的”;

D(x, y, z)表示“z是析取式xVy”,

翻译下列断言为中文，使我们翻译尽可能自然。例如译成“如果y是断言wVx,z是断言:xVw,并且y是可证明的，那么z是可证明的”.

设Z为全集，A，B，C为Z的子集。

试用A，B，C以及集合运算分别给出下列集合的表达式。

(1)所有奇数的集合。

(2){-10，-8，-6，-4，-2，0，2，4，6，8，10}。

(3)。

(4)。

设X，Y是两个相互统计独立的二元随机变量，其取“0”或“1”的概率为

等概率分布。定义另一个二元随机变量Z，而且XYZ=(一般乘积)，试计算：

(1)H(X)，H(Y),H(Z);

(2)H(XY)，H(XZ)，H(YZ)，H(XYZ);

(3)H(X|Y)，H(X|Z)，H(Y|Z)，H(Z|X)，H(Z|Y);

(4)H(X|YZ)，H(Y|XZ)，H(Z|XY);

(5)I(X;Y)，I(X;Z)，I(Y;Z);

(6)I(X;Y|Z)，I(Y;X|Z)，I(Z;X|Y)，I(Z;Y|X);

(7)I(XY;Z),I(X;YZ)，I(Y;XZ);