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题目内容
（请给出正确答案）
设α1，α2，…，αr线性相关，证明：存在不全为零的数t1，t2，…，tr，使对任何向量β都有α1+t1β，α2+t2β，…，αr+trβ(r≥2)线性相关．
答案
[证明]因为α1，α2，…，αr线性相关，所以存在不全为零的数k1，k2，…，kr使
k1α1+k2α2+…+krαr=0．
考虑线性方程k1x1+k2x2+…+krxr=0，且r≥2，它必有非零解．
设(t1，t2，…，tr)为任一非零解，则对任意向量β，都有
k1α1+k2α2+…+krαr+(k1t1+k2t2+…+krtr)β=0，
k1(α1+t1β)+k2(α2+t2β)+…+kr(αr+trβ)=0．
由k1，k2，…，kr不全为零得知α1+t1β，α2+t2β，…，αr+trβ线性相关．利用线性相关的定义证明
更多“设α1，α2，…，αr线性相关，证明：存在不全为零的数t1，t2，…，tr，使对任何向量β都有α1+t1β，α2+t2β，…，αr+trβ（r≥2)线”相关的问题
第4题
j
可以由α1，α2，…，αs中前j-1个向量α1，α2，…，αj-1线性表示，并且使得表示的方式是唯一的。
第5题
设向量组
线性相关，向量组
线性无关，问：
(1)a1能否由a2，a3线性表示？证明你的结论。
(2)a4能否由a1，a2，a3线性表示？证明你的结论。
第6题
1
能否由a1,a2...as线性表出,证明你的结论;(2)as+1能否由a1,a2...as线性表出,证明你的结论
第7题
A.该向量组中任意r个向量线性无关
B.该向量组中任意r+1个向量线性相关
C.该向量组存在唯一极大无关组
D.该向量组有若干个极大无关组.
第8题
设α1，α2，···，αn是欧氏空间的n个向量，行列式
叫作α1，...，αn的格拉姆(Gram)行列式，证明G(α1，...，αn)=0当且仅当α1，...，αn线性相关。
第9题
下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：
(i)如果当
，那么α1，α2，...，αr线性无关；
(ii)如果α1，α2，...，αr线性无关，而αr+1不能由α1，α2，...，αr线性表示，那么，α1，α2，...，αr，αr+1线性无关;
(iii)如果α1，α2，...，αr线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合;
(iv)如果α1，α2，...，αr线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合。
第10题
设A为n阶矩阵，r(A)=1，证明：
(1)
(2)A2=kA(k为一常数)。
第11题
设R(α1，α2，...，αs)，R(β1.β2...βs)=r2.R(α1，α2，...，αs、β1.β2...βs)
证明max(r1，r2)≤r3≤r1+r2
