设群,其中A'表示A的转置，证明H是G的子群.

设＜ G,*＞是一个群,证明:如果对任意的a,b∈G都有是一个阿贝尔群。

设Ⅱ是群G的子群,x∈G,令

证证明是G的子群，称为II的共轭子群.

设＜ G,*＞是一个群,证＜ H,*＞是正规子群。

设G是一个群，a∈G。映射叫做G的一个左平移。证明：

(i)左平移是G到自身的一个双射;

(ii)设a，b∈G，定义λ_aλ_b=λ_a·λ_b(映射的合成)，则G的全体左平移{λ_a|a∈G}对于这样定义的乘法作成一个群G';

(iii)G≌G'。