试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.

应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性.若函数f（x)在闭区间[a,b]连续,则函数f（x)在闭区间[a,b]一致连续.

证明定理11.1.3：x是点集的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列{x_k}，满足

设f(x)在[a,b]只有一个奇点x=b,证明定理8.2.3'和定理8.2.5'.

定理8.2.3'(Cauchy判别法)设在[a,b)上恒有f(x)≥0,若当x属于b的某个左邻域[b-η₀,b)时,存在正常数K,使得

应用海涅定理证明:若函数f（x)在（a,b)有定义,且单调增加,则∈（a,b),极限都存在,且

应用海涅定理证明:若函数f(x)在(a,b)有定义,且单调增加,则∈(a,b),极限都存在,且

证明定理16.5及其推论3.

定理的充要条件是:对于D的任一子集E,只要P₀是E的聚点,就有

推论3极限存在的允要条件是:

对于D中任一满足条件且的点列{P_n},它所对应的函数列{f(P_n)}都收敛.