若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是____维 的，而在实数域R上是 维的

令V=M_n(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n²维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换α_A：V→V：对于任意X∈V=M_n(C)，α_A(X)=AX-AX。

(i)证明，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么α_A是V的幂零变换;

(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么α_D和α_N分别是线性变换α_A的若尔当分解。

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。

(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。

(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为：

(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并验算T^-1AT。

设V是复数域上的n维线性空间，是V的线性变换，且证明：

1)如果λ₀是的一特征值，那么的不变子空间;

2)至少有一个公共的特征向量。

我们知道，复数域C上每一n阶矩阵A都相似于一个上三角形矩阵

令

(i)证明N是幂零矩阵，于是B=D+N。这样能不能作为定理2的证明？

(ii)设，B=D+N是不是B的若尔当分解？B的若尔分解应该是什么样子？

(iii)仔细地读一下定理2，再看一看用(i)作为定理2的证明错在哪里？

设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：这里W_i=W∩V，i=1，2，...，k。

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？

根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:

①对每个自然数m，m+0=m;

②对每一对自然数m和n，m+n'=(m+n)'，

(a)证明用以上定义的加法是可结合的。

(b)用类似方法归纳地定义乘法(可以引用上边定义的加法运算)。

(c)用乘法运算归纳地定义幂运算。

(d)给出关于“小于”的一个归纳定义。