设V是复数域上线性空间，其维数n≥2，f（α，β)是V上一个对称双线性函数。1)证明：V中有非零向量ξ使f（ξ，ξ)=0;2)如果f（α，β)是非退化的。则必有线性无关的向量ξ，η满足f（ξ，η)=1，f（ξ，ξ)=f（η，η)=0。

设V是复数域上的n维线性空间，是V的线性变换，且证明：

1)如果λ₀是的一特征值，那么的不变子空间;

2)至少有一个公共的特征向量。

设V为数域P上的n维线性空间，且V=L(α₁，α₂，...α_n)，

(1)证明{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}是V的一组基:

(2)若a∈V在基{α₁，α₂，...α_n}下的坐标为(n，n-1，...，2，1),求α在基{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}下的坐标

设f是数域F上有限维向量空间V的一个非退化内积，φ：V→F是V上一个线性函数。证明存在唯一的向量α∈V，使得对于任意β∈V来说，都有φ（B)=f（α，β)。

征值。证明，存在V的线性变换σ₁，σ₂，···，σ_t，使得

设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值，V_λ是属于本征值的本征子空间。证明，子空间的和是直和，并在σ之下不变。

设V和W都是数域F上的向量空间，且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基：α₁，···，α_s，α_s+1，...，α_n，使得α₁，···，α_s是Ker(σ)的一个基。证明：(i)σ(α_s+1)，...，σ(α_n)组成Im(σ)的一个基；

(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？

根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如: