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题目内容
（请给出正确答案）
设有函数序列fn(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:
(1)若每一个函数fn(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且
(2)若
,又每一个函数fn(x)都有连续的导数f'n(x),且导函数列f'n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且
,即
[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]
答案
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第1题
第3题
证明:若函数列{fn(x)}在区间Ii(i=1,2,..,n)都一致收敛,则函数
列{fn(x)}在
也一致收敛.
第5题
f1(x)，f2(x)，...，fn(x)是闭区间[a，b]上的实函数，且在实数域上是线性无关的，证明：在[a，b]上存在数a1，a2，...，an，使
第6题
证明:若函数f1(x),f2(x),...,fn(x)在x皆可导,且在x皆不为0,设
g(x)=f1(x)f2(x)...fn(x),则函数g(x)在x也可导,且
第7题
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.证明:|f(0)1+|f(1)|≤1.
第8题
(1)若fn(x)是下凸函数，问
是不是下凸函数？
(2)若f(x),g(x)是下凸函数，问f(x)+g(x)是不是下凸函数？
(3)说明三次函数不是下凸函数.
第10题
证明:若连续函数列{fn(x)}在[a,b]一致收敛于f(x),
,xn∈[a,b],且xn→x(n→∞),则
第11题
设
，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞)上一致收敛;试问极限运算与求导运算能否交换，即
是否成立？
