设S为光滑封闭曲面,c为常向量[方向和大小都不改变].证明:[n为S上单位外法向量]

设区域Ω由分片光滑封闭曲面∑所围成。证明:

其中n为曲面∑的单位外法向量,

证明等式其中S为包围空间有界区域的光滑封闭曲面,n=n(P)为S上点P处的单位外法向量,r为连接定点与动点P∈S的向量|r|.

设向量场,S为圆锥面在0xy平面上方部分[即z≥0],n为指向锥外的单位法向量,求曲面积分

设光滑闭曲线L在光滑曲面S上，S的方程为z=f(x,y),曲线L在XY面上的投影曲线为l，函数P(x,y,z)在L上连续，证明

设u(x,y)在R²上具有二阶连续偏导数，证明u是调和函数的充要条件为: 对于R²中任意光滑封闭曲线C, 成立为沿C的外法线方向的方向导数。

设u(x,y)、v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明:

其中、世分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号称维拉普拉斯算子.

在P₀处沿方向n的方向导数.

设光滑曲面S包围有界闭区域Ω,而函数u=u(x,y,z)在Ω上二阶连续可微分,证明:

设S是由锥面与半球面构成的封闭曲面,则沿外侧的曲面积分=().

设其中a, b为常向量，t为参数.