证明n阶实对称矩阵A=（a_ij)是正定的，当且仅当对于任意1≤i₁＜i₂＜...＜i_k≤n，k阶子

设A=(a_ij)是一个n阶正定实对称矩阵。证明当且仅当A是对角矩阵时，等号成立。

设A=（a_ij)是n阶正定矩阵，证明a_ij＞0（i=1，2，…，n)。

设A为任意的n阶实对称正定矩阵，为n维实向量空间，对，试证明定义式（x，x)_A=（Ax，x)为的一个内

设A为任意的n阶实对称正定矩阵，为n维实向量空间，对，试证明定义式(x，x)_A=(Ax，x)为的一个内积(称为A内积)。

设实二次型其中是实对称矩阵，则为正定二次型的充要条件是（).A.Aⁿ是正定矩阵B.A-1⊕

设实二次型其中是实对称矩阵，则为正定二次型的充要条件是().

A.Aⁿ是正定矩阵

B.A^-1是正定矩阵

C.的负惯性指数为零

D.存在n阶实矩阵C,使得A=C^TC

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B)=n。

1)A是n级可逆矩阵，求下列二次型

的矩阵;

2)证明：当A是正定矩阵时，f是正定二次型;

3)当A是实对称矩阵时，讨论A的正、负惯性指数与f的正、负惯性指数之间的关系。

设A为3阶实对称矩阵，且满足A²+2A=O。已知r（A)=2。（1)求A的全部特征值;（2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵。