设解析函数f（x)在圆|z|＜R内的泰勒展开式为且,试证明:

设解析函数f(z)在|z|＜R内的泰勒展开式为，

设函数f(z)在区域r₀＜|z|＜∞内解析，C表示圆|z|=r(0＜r₀＜r).我们把积分

定义作为函数f(z)在无穷远点的留数，记作Res(f,∞),在这里积分中的C^-表示积分是沿着C按顺时针方向取的。试证明:如果a_-1表示f(z)在r₀＜|z|＜+∞的罗朗展式中1/z的系数，那末Res(f,∞)=-a_-1

设在|z|＜R内解析的函数f(z)有泰勒展式：

试证: (1)令M(r)=max|f(re^θ)|)(0≤θ≤2π),我们有:

在这里n=0,1,2...，0＜r＜R

(2)由(1)证明刘维尔定理。

(3)当0≤r＜R时

证明解析函数f(z)的泰勒系数a_n可以通过f(z)的实部或虚部来计算,即若在|z|＜R内解析,则

或

设函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在区域D内解析，且满足下列条件之一，试证f(z)在D中内是常数。

(1)在D内也解析;

(2)u=e^v+ 1。

设f(z)在|z|＜R内解析,而f(z)在|z|=r(＜R)内部有一阶零点z₀,则

设N及r是解析函数f(z)的实部及虚部,且.

已知调和函数,求其共轭调和函数

r(x,y)及解析函数f(z)=u((x,y))+ir(x,y).

设函数f(z)在区域D内解析，证明:如果对某一点z_n∈D有:

那么，f(z)在D内为常数。