令σ是一个n次置换。设A=(aij)是数域F上一个nxn矩阵,定义就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑≇
令σ是一个n次置换。
设A=(aij)是数域F上一个nxn矩阵,定义
就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑n={σ(I)|σ∈Sn},其中I是nxn单位矩阵。证明∑n作成GL(n,F)的一个与Sn同构的子群。
令σ是一个n次置换。
设A=(aij)是数域F上一个nxn矩阵,定义
就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑n={σ(I)|σ∈Sn},其中I是nxn单位矩阵。证明∑n作成GL(n,F)的一个与Sn同构的子群。
第2题
设V和W都是数域F上的向量空间,且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基:α1,···,αs,αs+1,...,αn,使得α1,···,αs是Ker(σ)的一个基。证明:(i)σ(αs+1),...,σ(αn)组成Im(σ)的一个基;
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
第3题
设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值,Vλ是属于本征值的本征子空间。证明,子空间的和是直和,并在σ之下不变。
第5题
设方程组系数行列式|A|=0,而A中某元素an代数余子式Aij≠0,试证是该方程组的一个基础解系。
第6题
证明|A|=1.
第8题
成以下问题:(要求附上程序运行结果)
(1)求A的行列式;
(2)求A的秩;
(3)画出A的每个行向量的图形;
(4)查看A的大小(即行、列数);
(5)计算A的第11行与第11列的乘积;
(6)用一个二次函数去拟合A的最后一行向量,画出图形;
(7)计算A的每行的和,用条形图把该和向量描绘出来,加上轴标签和图形标题;
(8)计算A的特征值和特征向量;
(9)计算A的迹、逆和范数;
(10)查看AT*A的右下角元素ann的值。(AT为A的转置矩阵)
第9题
方程(II)b1x1+b2x2+···+bnxn=0)的解,证明β可用A的行向量α1,α2,···,αm线性表出。
第10题
设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明:这里Wi=W∩V,i=1,2,...,k。