考查任何一棵二叉树T。a)试证明，对于其中任一节点v∈T，总有depth（v)+height（v)≤height（T)；b)以上取等号的充要条件是什么？

Joseph Kruskal于1956年提出了构造极小支撑树的另一算法：

将每个顶点视作一棵树，并将所有边按权重非降排序;

依次考查各边，只要其端点分属不同的树，则引入该边，并将端点所分别归属的树合二为一;

如此迭代，直至累计已引入n-1条边时，即得到一棵极小支撑树。

试证明：

a)算法过程中所引入的每一条边，都是某一割的极短跨越边(因此亦必属于某棵极小支撑树);

b)算法过程中的任一时刻，由已引入的边所构成的森林，必是某棵极小支撑树的子图;

如图x1.4所示，考查缺失右上角(面积为4ⁿ-1)的2ⁿ×2ⁿ棋盘，n≥1。

a)试证明，使用由三个1x1正方形构成、面积为3的L形积木，可以恰好覆盖此类棋盘;

b)试给出一个算法，对于任意n≥1，给出覆盖方案;

c)该算法的时间复杂度是多少？

证明下列关系：

(1)设T是具有n个内结点的扩充二叉树，I是它的内路径长度，E是它的外路径长度。试利用归纳法证明E=1+2n，n≥1.

(2)利用(1)的结果，试说明：成功搜索的平均搜索长度Sn与不成功搜索的平均搜索长度U.之间的关系可用公式Sn=(1+1/n)Un-1，n≥1表示。