设（f，g)=1，令n是任意正整数，证明：（f，gⁿ)=1。由此进一步证明，对于任意正整数m，n，都有（f^m，gⁿ)=1。

设n阶方阵A与B相似,证明:

(1)对任意的正整数k,都有A^k与B^k相似;

(2)对任意一个多项式矩阵多项式f(A)和f(B)相似;

(3)当A,B都是可逆矩阵时,Aⁿ和Bⁿ相似。

设f(z)在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数。

1)试用柯西积分公式证明

C的最短距离，试用积分估值公式与1)中的等式，证明不等式

3)令n→+∞，对2)中的不等式取极限,证明： |f(z)|≤M。这个结果表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)。

设f在[0,1]上连续,f(0)=f(1).证明:对任何正整数n ,存在ξ∈[0,1] ,

使得

令a₁，a₂，···，a_n是任意复数，行列式

叫作一个循环行列式，证明：D=f(ω₁)f(ω₂)...f(ω_n)，这里是全部n次单位根。

设f(x)，g(x)是数域P上两个不全为零的多项式。令

证明：存在m(x)∈S，使

设其中令

证明:f(x)不可约当且仅当g(x)不可约。

设f(x)是定义在（－∞,a）上的连续函数，对任意的t∈R¹，令TE_t={x∈E：f(x)＞t}，试证明存在Rⁿ中包含E的开集TG_t，使得E_t=E∩G_t．