设A是n阶下三角形矩阵。（1)在什么条件下A必可对角化？（2)如果且至少有一个证明A不可对角化。

1)设A为一个n级实矩阵，且|A|≠0，证明A可以分解成A=QT，其中Q是正交矩阵，T是上三角形矩阵：

ii＞0(i=1，2，...，n)，并证明这个分解是唯一的;

2)设A是n级正定矩阵，证明存在一上三角形矩阵T，使A=T'T。

设A是一n级下三角形矩阵，证明：

1)如果a_ii≠a_jj当i≠j，i，j=1，2，...，n，那么A相似于一对角矩阵;

2)如果a₁₁=a₂₂=...=a_nn，而至少有一，那么A不与对角矩阵相似。

我们知道，复数域C上每一n阶矩阵A都相似于一个上三角形矩阵

令

(i)证明N是幂零矩阵，于是B=D+N。这样能不能作为定理2的证明？

(ii)设，B=D+N是不是B的若尔当分解？B的若尔分解应该是什么样子？

(iii)仔细地读一下定理2，再看一看用(i)作为定理2的证明错在哪里？

设A是一个n级可逆复矩阵，证明：A可以分解成A=UT。其中U是酉矩阵，T是一个上三角形矩阵：

其中对角线元素t_ii(i=1，2，...，n)都是正实数，并证明这个分解是唯一的。

设向量都是非零向量,且满足条件a^Tβ=0.记n阶矩阵A=aβ^T.(1)求A(2)求A的特征值;(3)判断A能否相似于对角矩阵,说明理由,

设线性方程组

在(I)的基础上,添加一个方程,得

(1)求方程组(I)的通解;

(2)a,b满足什么条件时,方程組(I),(II)是同解方程組？