假定R是偶数环。证明，所有整数4r（r∈R)是R的一个理想观。等式π=（4)对不对？

假定R是由所有复数a+bi（a,b是整数)作成的环。环R/（1+i)有多少个元？

证明，由所有复数a+bi（a, b是整数)所作成的环R是一个欧氏环。（取φ（a)=|a|²。)

证明，假定R是一个整环，那么R上的一元多项式环R[x]也是一个撞环。

设＜ R,+,·＞是一个环，且对所有a∈R有a²=a，这样的环称为布尔环。 （a)证明＜ R,+,·＞是个可交换环。 （b)证明对于所有的a∈R,有a+a=0， （c)试证明,如果|R|＞2,则＜ R,+,·＞不可能是个整环。

试证明,在环R中,如对某两元素a,b有ab=ba,那么（1)ab^-1=b^-1（假定b^-1存在);（2)a（-b)=（-b)a.

假定R是模16的剩余类环，R[x]了的多项式x²在R里有多少个根？

若环R适合:a∈R,a²=a,证明:(1)a∈R,a+a=0 (2)R是交换环

假定a生成一个阶是n的循环群G.证明:a'也生成G,假如（r，n)=1（这就是说r和n互素)。

设R是一个环，并且R对于加法来说作成一个循环群。证明R是一个交换环。

设是一个环,证明:如果a,b∈R,则。其中,x²=x‧x.