设A是一个n级矩阵，证明：1)A是反称矩阵当且仅当对任一个n维向量X，有X'AX=0;2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X'AX=0，那么A=O。

设A是一n级下三角形矩阵，证明：

1)如果a_ii≠a_jj当i≠j，i，j=1，2，...，n，那么A相似于一对角矩阵;

2)如果a₁₁=a₂₂=...=a_nn，而至少有一，那么A不与对角矩阵相似。

1)设A为一个n级实矩阵，且|A|≠0，证明A可以分解成A=QT，其中Q是正交矩阵，T是上三角形矩阵：

ii＞0(i=1，2，...，n)，并证明这个分解是唯一的;

2)设A是n级正定矩阵，证明存在一上三角形矩阵T，使A=T'T。

设A=(a_ij)是一个n级正定矩阵，而在Rⁿ中定义内积(α，β)为(α，β)=αAβ'。

1)证明：在这个定义之下，Rⁿ成一欧氏空间;

2)求单位向量(0，0，..，1)的度量矩阵;

3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

1)A是n级可逆矩阵，求下列二次型

的矩阵;

2)证明：当A是正定矩阵时，f是正定二次型;

3)当A是实对称矩阵时，讨论A的正、负惯性指数与f的正、负惯性指数之间的关系。

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法;

2)设A是一个nxn实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法;

3)全体n级实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法;

5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

7)集合与加法同6)，数量乘法定义为

8)全体正实数R⁺，加法与数量乘法定义为

设A是一个n级可逆复矩阵，证明：A可以分解成A=UT。其中U是酉矩阵，T是一个上三角形矩阵：

其中对角线元素t_ii(i=1，2，...，n)都是正实数，并证明这个分解是唯一的。

（1)证明：对任意的mxm矩阵A，A^TA和AA^T都是对称矩阵。（2)证明：对任意的n阶矩阵A，A+A^T为对称矩阵，而A-A^T为反称矩阵。

设A是一个n阶矩阵。并且存在一个正整数m使得A^m=Q。

(i)证明I-A可逆，并且(I-A)^-1=I+A+...+A^m-1。

(i)求矩阵

的逆矩阵。