对于一维谐振子，求湮没算符a的本征态，将其表示成各能量本征态|n|的线性叠加。

一维谐振子的相于态|z〉定义为湮灭算符a的本征态，即

a|z〉=z|z〉，

其中z为复数，而湮灭算符a如下给出

其中，而m、ω分别为谐振子的质量、频率．(1)试求解该相干态的坐标表象波函数；(2)试对该相干态计算Δx·Δp．

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

以a⁺和a表示Fermi子体系的某个单粒子态的产生和湮没算符，满足基本对易式

以表示该单粒子态上的粒子数算符，求的本征值，并计算对易式，a⁺、[，a]．

从谐振子升、降算符的基本对易关系

[a，a⁺]=1 (1)

出发，证明

(2)

(λ为参数)对于λ＞0，计算

进而讨论算符a⁺a的本征值谱．

一维谐振子，取自然单位(h=m=ω=1)，能量算符可以表示成

(1)

取基态试探波函数为

(2)

其中a为变分参数，N为归一化常数．求基态能级的上限，和精确值E₀=1/2比较．

对于谐振子的能量本征态|n〉，计算x、p、x²、p²的平均值及△x、△p．

给定总能量算符H(r，p)，以E_n、ψ_n表示其本征值和本征函数．态矢量|ψ_n〉简记为|n〉．

按照Heisenberg运动方程，力学量算符A(r，p)的时间变化率为

自旋1/2的三维各向同性谐振子，处于基态．设此粒子受到微扰H'=λσ·r作用(σ是Pauli自旋算符)，求能级修正(二级近似)．

电荷为q的自由谐振子，能量算符为

能量本征函数记为，能级记为。如外加均匀电场，使振子额外受力，从而总能量算符变成新的能级记为，本征函数记为。求，并将用表示出来。

(a)电子在一维区域

自由运动，波函数满足周期性边界条件ψ(x)=ψ(x+L)．试写出动量和Hamilton量的共同本征函数(不考虑自旋)；

(b)加上微扰H'=εcosqx，其中Lq=4πN(N为大的正整数)．试就电子动量|p|=qh/2的情况求能级和定态波函数，准确到ε量级；

(c)再计算情况(b)的能级修正，至ε²量级；

(d)对于|p|接近(但不等于)qh/2的情况，重复(b)和(c)的能级计算．